Знаменитый боксер родился 13 мая 1959 года. Кошкин, бывший самым титулованным учеником известного тренера Бориса Грекова, выступал в полусреднем и среднем весе.
В 1979 году он стал чемпионом СССР и выиграл Спартакиаду народов Советского Союза. На Олимпиаде 1980 года в Москве Кошкин дошел до финала, уступив в решающем поединке кубинцу Армандо Мартинесу. Однако через два года советский боксер сумел взять реванш у Мартинеса, став чемпионом мира в первом среднем весе. За год до этого Кошкин завоевал золотую медаль на первенстве Европы.
За победу на чемпионате мира Александру Кошкину было присвоено звание заслуженного мастера спорта.